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什么是同态加密?

2021-03-04
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03/04

一、 概览:同态加密的概念

同态加密(Homomorphic Encryption)是很久以前密码学界就提出来的一个Open Problem。早在1978年,Ron Rivest, Leonard Adleman, 以及Michael L. Dertouzos就以银行为应用背景提出了这个概念[RAD78]。对,你没有看错,Ron Rivest和Leonard Adleman分别就是著名的RSA算法中的R和A。至于中间的S,Adi Shamir,现在仍然在为密码学贡献新的工作。

什么是同态加密?

提出第一个构造出全同态加密(Fully Homomorphic Encryption)[Gen09]的Craig Gentry给出的直观定义最好:

这是什么意思呢?一般的加密方案关注的都是数据存储安全。即,我要给其他人发个加密的东西,或者要在计算机或者其他服务器上存一个东西,我要对数据进行加密后在发送或者存储。没有密钥的用户,不可能从加密结果中得到有关原始数据的任何信息。只有拥有密钥的用户才能够正确解密,得到原始的内容。我们注意到,这个过程中用户是不能对加密结果做任何操作的,只能进行存储、传输。对加密结果做任何操作,都将会导致错误的解密,甚至解密失败。

同态加密方案最有趣的地方在于,其关注的是数据处理安全。同态加密提供了一种对加密数据进行处理的功能。也就是说,其他人可以对加密数据进行处理,但是处理过程不会泄露任何原始内容。同时,拥有密钥的用户对处理过的数据进行解密后,得到的正好是处理后的结果。

有点抽象?我们举个实际生活中的例子。有个叫Alice的用户买到了一大块金子,她想让工人把这块金子打造成一个项链。但是工人在打造的过程中有可能会偷金子啊,毕竟就是一克金子也值很多钱的说… 因此能不能有一种方法,让工人可以对金块进行加工(delegate processing of your data),但是不能得到任何金子(without giving away access to it)?当然有办法啦,Alice可以这么做:

Alice将金子锁在一个密闭的盒子里面,这个盒子安装了一个手套。
工人可以带着这个手套,对盒子内部的金子进行处理。但是盒子是锁着的,所以工人不仅拿不到金块,连处理过程中掉下的任何金子都拿不到。
加工完成后。Alice拿回这个盒子,把锁打开,就得到了金子。
这个盒子的样子大概是这样的:

这里面的对应关系是:

盒子:加密算法
盒子上的锁:用户密钥
将金块放在盒子里面并且用锁锁上:将数据用同态加密方案进行加密
加工:应用同态特性,在无法取得数据的条件下直接对加密结果进行处理
开锁:对结果进行解密,直接得到处理后的结果
同态加密哪里能用?
这几年不是提了个云计算的概念嘛。同态加密几乎就是为云计算而量身打造的!我们考虑下面的情景:一个用户想要处理一个数据,但是他的计算机计算能力较弱。这个用户可以使用云计算的概念,让云来帮助他进行处理而得到结果。但是如果直接将数据交给云,无法保证安全性啊!于是,他可以使用同态加密,然后让云来对加密数据进行直接处理,并将处理结果返回给他。这样一来:

用户向云服务商付款,得到了处理的结果;
云服务商挣到了费用,并在不知道用户数据的前提下正确处理了数据;
这方法简直完美啊有没有?!但是,这么好的特性肯定会带来一些缺点。同态加密现在最需要解决的问题在于:效率。效率一词包含两个方面,一个是加密数据的处理速度,一个是这个加密方案的数据存储量。我们可以直观地想一想这个问题:

工人戴着手套加工金子,肯定没有直接加工来得快嘛~ 也就是说,隔着手套处理,精准度会变差(现有构造会有误差传递问题),加工的时间也会变得更长(密文的操作花费更长的时间),工人需要隔着操作,因此也需要更专业(会正确调用算法)。
金子放在盒子里面,为了操作,总得做一个稍微大一点的盒子吧,要不然手操作不开啊(存储空间问题)。里面也要放各种工具吧,什么电钻啦,锉刀啦,也需要空间吧?
二、 同态加密的定义、安全性和简单实例
下面的内容,如果可以接受符号表述,具有一点密码学的知识,对抽象代数有一定的了解的话,可能体会的更深刻哦。

同态加密具体如何定义?
我们在云计算应用场景下面进行介绍:

Alice通过Cloud,以Homomorphic Encryption(以下简称HE)处理数据的整个处理过程大致是这样的:

Alice对数据进行加密。并把加密后的数据发送给Cloud;
Alice向Cloud提交数据的处理方法,这里用函数f来表示;
Cloud在函数f下对数据进行处理,并且将处理后的结果发送给Alice;
Alice对数据进行解密,得到结果。
据此,我们可以很直观的得到一个HE方案应该拥有的函数:

KeyGen函数:密钥生成函数。这个函数应该由Alice运行,用于产生加密数据Data所用的密钥Key。当然了,应该还有一些公开常数PP(Public Parameter);
Encrypt函数:加密函数。这个函数也应该由Alice运行,用Key对用户数据Data进行加密,得到密文CT(Ciphertext);
Evaluate函数:评估函数。这个函数由Cloud运行,在用户给定的数据处理方法f下,对密文进行操作,使得结果相当于用户用密钥Key对f(Data)进行加密。
Decrypt函数:解密函数。这个函数由Alice运行,用于得到Cloud处理的结果f(Data)。
那么,f应该是什么样子的呢?HE方案是支持任意的数据处理方法f?还是说只支持满足一定条件的f呢?根据f的限制条件不同,HE方案实际上分为了两类:

Fully Homomorphic Encryption (FHE):这意味着HE方案支持任意给定的f函数,只要这个f函数可以通过算法描述,用计算机实现。显然,FHE方案是一个非常棒的方案,但是计算开销极大,暂时还无法在实际中使用。
Somewhat Homomorphic Encryption (SWHE):这意味着HE方案只支持一些特定的f函数。SWHE方案稍弱,但也意味着开销会变得较小,容易实现,现在已经可以在实际中使用。

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